Corso di laurea in Fisica

Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.

Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Introdurre in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- comprensione dei postulati fisici della relatività speciale e delle strutture matematiche connesse alla modellizzazione relativistica dello spaziotempo; 

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; comprensione del rapporto fra decrizione quadridimensionale e osservazioni fisiche, e confronto con la meccanica nonrelativistica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali; saper risolvere semplici problemi di cinematica relativistica e di dinamica relativistica del punto;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; sapere individuare leggi di conservazione e impostare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema olonomo;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, in vista di estensioni alle teorie di campo.

Lezioni frontali, occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer, a cui si aggiugono 20 ore di tutoraggio.

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in tre fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluziopne di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (rispettivamente di meccanica lagrangiana e meccanica relativistica) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. Il punteggio minimo richiesto per superare ciascuno dei i due test è di 8/10. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati i due test su computer si può accedere alla prova scritta, che consiste in uno o due problemi di meccanica analitica e che verifica la capacità di individuare la corretta strategia di risoluzione e scegliere in modo appropriato le coordinate in cui rappresentare il sistema. I problemi proposti, pur riguardando di regola sistemi olonomi con uno o due gradi di libertà, non sono "esercizi standard" ma richiedono, almeno per alcune delle domande proposte, capacità di "problem solving". La prova scritta, se superata, è valutata su una scala A-D. Il punteggio A determina un aumento di 2 punti rispetto al voto della prova orale, B un aumento di 1 punto, C lascia invariato il punteggio dell'orale e D determina la perdita di 1 punto. Le prove superate valgono per l'intera sessione d'esame, ma se classificate A o B restano valide per 12 mesi. In caso di ripetizione di una prova scritta già superata, la seconda viene considerata solo se migliora il voto della precedente. Sulla piattaforma moodle sono disponibili i testi di buona parte delle prove scritte date in passato, con le relative soluzioni.

La prova orale, a cui si accede dopo il superamento della prova scritta, consiste nella risposta a tre domande teoriche: una di meccanica lagrangiana, una di meccanica relativistica e una di meccanica hamiltoniana. Le domande sono estratte in modo casuale da un elenco reso disponibile alla fine del corso attraverso la piattaforma moodle. Per la parte di meccanica hamiltoniana, gli studenti possono scegliere una domanda su un approfondimento facoltativo in alternativa all'estrazione casuale. Il voto dell'orale è dato dalla somma dei voti delle tre risposte, ciascuna valutata da 0 a 10.

 

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville. Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Sono indicati come argomenti facoltativi per l'esame (trattati nelle dispense del corso) la forma di Poincaré-Cartan, la formulazione variazionale della meccanica hamiltoniana, le trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo e il metodo di Hamilton-Jacobi.

Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle)

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.