Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Metodi matematici della meccanica classica

Oggetto:

Mathematical methods of classical mechanics

Oggetto:

Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN0539
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Terzo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.
Compulsory first- and second-year courses on calculus, linear algebra, geometry, mechanics and electromagnetism.
Propedeutico a
Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica
Quantum Mechanics, Mathematical Models of Classical Physics
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Introdurre in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

Introducing Lagrangian and Hamiltonian mechanics in the modern language of differential geometry, with emphasis on topics of general interest in theoretical physics (geometric structures, variational principles, symmetries and conservation laws, Poisson brackets). Constructing relativistic kinematics from physical assumptions and obtaining the dynamics of a relativistic particle (in interaction with the e.m. field) within the Lagrangian framework.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- comprensione dei postulati fisici della relatività speciale e delle strutture matematiche connesse alla modellizzazione relativistica dello spaziotempo; 

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; comprensione del rapporto fra decrizione quadridimensionale e osservazioni fisiche, e confronto con la meccanica nonrelativistica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali; saper risolvere semplici problemi di cinematica relativistica e di dinamica relativistica del punto;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; sapere individuare leggi di conservazione e impostare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema olonomo;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, in vista di estensioni alle teorie di campo.

Knowledge and understanding...

- of the lagrangian and the hamiltonian formulations of classical mechanic, from their deduction from the newtonian mechanics of systems of point particles to the more general deduction from an action principle;

- of the notions of equilibrium and stability, linearization and diagonalization for holonomic systems;

- of the connection between symmetries and conservation laws, represented by Noether's theorem and by commutation relations in the Poisson algebra. Understanding the respective intrinsic (coordinate-independent) characterization of linear, integrable, separable holonomic systems;

- the physical postulates of special relativity and the mathematical description of the structure of (special-)relativistic spacetime; 

- the Lagrangian description of the worldline of a relativistic massive particle, interacting with the e.m. field; the connection with observable quantities in three-space; the nonrelativistic limit;

Applying knowledge and understanding:

- solving standard problems in Lagrangian and Hamiltonian mechanics for systems of constraind point particles, using generic coordinates; manipulating tensor formulae; solving basic problems of relativistic kinematics and of relativistic dynamics of point particles;

- finding equilibrium configuration and assessing their stability; computing linearized equations and diagonalizing them; finding conservation laws for Lagrangian and Hamiltonisn systems; writing the Hamilton-Jacobi equation for a given holonomic system;

- using the appropriate mathematical definitions and properties (from linear and multilinear algebra, differential geometry, variational calculus, symplectic geometry) for objects and operations involved in modelling a physical system.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni frontali, occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer, a cui si aggiugono 20 ore di tutoraggio.

Lectures, occasionally supported by computer simulations; 20 hours of additional tutoring sessions.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in tre fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluziopne di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (rispettivamente di meccanica lagrangiana e meccanica relativistica) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. Il punteggio minimo richiesto per superare ciascuno dei i due test è di 8/10. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati i due test su computer si può accedere alla prova scritta, che consiste in uno o due problemi di meccanica analitica e che verifica la capacità di individuare la corretta strategia di risoluzione e scegliere in modo appropriato le coordinate in cui rappresentare il sistema. I problemi proposti, pur riguardando di regola sistemi olonomi con uno o due gradi di libertà, non sono "esercizi standard" ma richiedono, almeno per alcune delle domande proposte, capacità di "problem solving". La prova scritta, se superata, è valutata su una scala A-D. Il punteggio A determina un aumento di 2 punti rispetto al voto della prova orale, B un aumento di 1 punto, C lascia invariato il punteggio dell'orale e D determina la perdita di 1 punto. Le prove superate valgono per l'intera sessione d'esame, ma se classificate A o B restano valide per 12 mesi. In caso di ripetizione di una prova scritta già superata, la seconda viene considerata solo se migliora il voto della precedente. Sulla piattaforma moodle sono disponibili i testi di buona parte delle prove scritte date in passato, con le relative soluzioni.

La prova orale, a cui si accede dopo il superamento della prova scritta, consiste nella risposta a tre domande teoriche: una di meccanica lagrangiana, una di meccanica relativistica e una di meccanica hamiltoniana. Le domande sono estratte in modo casuale da un elenco reso disponibile alla fine del corso attraverso la piattaforma moodle. Per la parte di meccanica hamiltoniana, gli studenti possono scegliere una domanda su un approfondimento facoltativo in alternativa all'estrazione casuale. Il voto dell'orale è dato dalla somma dei voti delle tre risposte, ciascuna valutata da 0 a 10.

 

The assessment involves three subsequent steps.

First, the ability to cope with standard exercises is checked by two multiple-choiche tests (for Lagrangian mechanics and Special Relativity; the minimum passing score is 8/10 for each test). The tests can be taken, independently from each other, during the course or before the exam sessions. Test scores do not affect the final exam grading. A training version of both tests is freely available with anonymous access.

After passing both preliminary tests, the written examination assesses the ability of finding the correct strategy and coordinate choice to solve problems related to given holonomic systems, typically with one or two degrees of freedom. The problems are not standard exercises but require problem solving abilities, at least for some of the posed questions. The passing grades range from A to D, where A (excellent) adds two points to the score of the oral exam, B adds one point and D (poor) subtracts one point. The written exam is valid for the exam session, but if graded A or B it remains valid for 12 months. Written exams which are repeated after having already passed a previous one are considered only if the grade is increased. On the moodle platform, students can find texts and solutions of most of the past written exams.

After passing the written exam, the final oral examination consists in three questions about theorical topics (one on Lagrangian mechanics, one on Special Relativity and one on Hamiltonian mechanics), randomly extracted from a set of questions which is made available to students on the moodle platform at the end of the course lectures. For hamiltonian mechanics, students are allowed to present an optional topic (within a previously assigned list) instead of the random extraction. The score of the oral exam is the sum of the scores given for the three questions, each ranging from 0 to 10.

 

Oggetto:

Attività di supporto

Oggetto:

Programma

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville. Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Sono indicati come argomenti facoltativi per l'esame (trattati nelle dispense del corso) la forma di Poincaré-Cartan, la formulazione variazionale della meccanica hamiltoniana, le trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo e il metodo di Hamilton-Jacobi.

Overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical framework from differential geometry (manifolds, tangent bundles, metric structures, Christoffel symbols). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Action functional. Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Poincaré-Cartan form and variational principles in hamiltonian mechanics. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations and generating functions. Hamiltonian systems with symmetries. Completely integrable systems: Caratheodory-Jacobi and Arnold-Liouville theorems. Relativistic mechanics: Galileo transformations, non-invariance of the e.m. wave equation, Lorentz transformations. Minkowski spacetime. Lagrangian mechanics for a relativistic particle, electomagnetic interaction. Relativistic effects; non-relativistic limit.

In addition, Poincaré-Cartan form, variational principles in hamiltonian mechanics, time-dependent canonical transformations and Hamilton-Jacobi theory are discussed in the lecture notes and may be included by the student as optional topics for the exam.

 

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle)

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.

Comprehensive lecture notes by the teachers, available on the moodle platform.

Other useful references:

Sections of the textbook "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold" (available also in English).

Sections of the textbook "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti

Sections of the textbook "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli

 



Oggetto:

Orario lezioni

Lezioni: dal 20/04/2017 al 21/06/2017

Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione"

Oggetto:

Note

Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 07/05/2019 18:51