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Oggetto:
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Metodi matematici della meccanica classica

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Mathematical methods for classical mechanics

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Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0539
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Esercitatore)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Terzo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Rivedere in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- comprensione dei postulati fisici della relatività speciale e delle strutture matematiche connesse alla modellizzazione relativistica dello spaziotempo; 

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; comprensione del rapporto fra decrizione quadridimensionale e osservazioni fisiche, e confronto con la meccanica nonrelativistica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali; saper risolvere semplici problemi di cinematica relativistica e di dinamica relativistica del punto;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; sapere individuare leggi di conservazione e impostare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema olonomo;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, in vista di estensioni alle teorie di campo.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta, seguita da colloquio orale.

Prova scritta seguita da colloquio

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Programma

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Forma di Poincaré-Cartan e principi variazionali della meccanica hamiltoniana.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Metodo di Hamilton-Jacobi. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville, cenni al teorema KAM. Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical framework from differential geometry (manifolds, tangent bundles, metric structures, Christoffel symbols). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Action functional. Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Poincaré-Cartan form and variational principles in hamiltonian mechanics. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations and generating functions. Hamiltonian systems with symmetries. Hamilton-Jacobi method. Completely integrable systems: Caratheodory-Jacobi and Arnold-Liouville theorems, reference to KAM theorem. Relativistic mechanics: Galileo transformations, non-invariance of the e.m. wave equation, Lorentz transformations. Minkowski spacetime. Lagrangian mechanics for a relativistic particle, electomagnetic interaction. Relativistic effects; non-relativistic limit. 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli, parti del testo "Meccanica Analitica" di A.Fasano e S.Marmi



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Ultimo aggiornamento: 16/04/2015 15:14