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Metodi matematici della meccanica classica -- Mathematical methods for classical mechanics

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Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN0539
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Esercitatore)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Terzo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Presentare il quadro concettuale (secondo Boltzmann e Gibbs) dei fondamenti meccanico-statistici della termodinamica dell'equilibrio. Rivedere in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali. Comprendere la relazione fra proprietà e grandezze fisiche e le strutture matematiche usate in meccanica classica. Comprendere i concetti elementari della meccanica statistica non quantistica, in vista di successivi approfondimenti, e saper risolvere semplici problemi di meccanica statistica. Comprendere il significato della meccanica relativistica a saper confrontare le equazioni relativistiche con quelle classiche.

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Programma

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Forma di Poincaré-Cartan e principi variazionali della meccanica hamiltoniana.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Metodo di Hamilton-Jacobi. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville, cenni al teorema KAM. Teoremi di Liouville, di Poincaré e di Birkhoff. Medie temporali ed ergodicità. Macrostati, microstati, entropia meccanico-statistica. Valori delle osservabili fisiche nel macrostato di Maxwell-Boltzmann. Teorema di equipartizione. Approccio di Gibbs: ensemble microcanonico, canonico e grancanonico. Equazioni di stato e potenziali termodinamici. Relazione fra energia libera di Helmholtz e funzione di partizione (canonica o grancanonica). Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical frameworkfrom differential geometry (manifolds, tangent bundles, metric structures, Christoffel symbols). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Action functional. Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Poincaré-Cartan form and variational principles in hamiltonian mechanics. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations and generating functions. Hamiltonian systems with symmetries. Hamilton-Jacobi method. Completely integrable systems: Caratheodory-Jacobi and Arnold-Liouville theorems, reference to KAM theorem. Liouville, Poincaré and Birkhoff theorems. Time averages and ergodicity. Macrostates, microstates, entropy. Values of physical observables in the Maxwell-Boltzmann macrostate. Equipartition theorem. Gibb's ensembles (microcanonical, canonical, grandcanonical). Equations of state and thermodynamic potentials. Relation between free energy and (canonical or grandcanonical) partition function. Relativistic mechanics: Galileo transformations, non-invariance of the e.m. wave equation, Lorentz transformations. Minkowski spacetime . Lagrangian mechanics for a relativistic particle, electomagnetic interaction. Relativistic effects; non-relativistic limit. 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold, parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.Giorgilli, parti del testo "Meccanica Analitica" di A.Fasano e S.Marmi



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Note

Prova scritta seguita da colloquio

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Ultimo aggiornamento: 25/06/2013 15:31