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Oggetto:
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Metodi matematici della meccanica classica

Oggetto:

Mathematical methods of classical mechanics

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Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MFN0539
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Da definire
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.
Compulsory first- and second-year courses on calculus, linear algebra, geometry, mechanics and electromagnetism.
Propedeutico a
Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica, Meccanica Statistica
Quantum Mechanics, Mathematical Models of Classical Physics, Statistical Mechanics
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson), inclusa la formulazione lagrangiana della particella relativistica carica. Introdurre la descrizione meccanico-statistica classica dell'equilibrio termodinamico a partire dalla meccanica hamiltoniana.

Introducing Lagrangian and Hamiltonian mechanics in the modern language of differential geometry, with emphasis on topics of general interest in theoretical physics (geometric structures, variational principles, symmetries and conservation laws, Poisson brackets), including the Lagrangian dynamics of a charged relativistic particle. Introducing the fundamental ideas of classical statistical mechanics to derive the description of the thermodynamic equilibrium from hamiltonian mechanics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; confronto con la meccanica nonrelativistica;

- comprensione del concetto di macrostato meccanico-statistico di un sistema e di entropia di un macrostato; deduzione delle proprietà dell'equilibrio termodinamico (classico) a partire dalle proprietà dei sistemi hamiltoniani.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; saper individuare leggi di conservazione e calcolare le parentesi di Poisson fra osservabili;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, teoria della misura, anche in vista di estensioni alle teorie di campo;

Knowledge and understanding...

- of the lagrangian and the hamiltonian formulations of classical mechanic, from their deduction from the newtonian mechanics of systems of point particles to the more general deduction from an action principle;

- of the notions of equilibrium and stability, linearization and diagonalization for holonomic systems;

- of the connection between symmetries and conservation laws, represented by Noether's theorem and by commutation relations in the Poisson algebra. Understanding the respective intrinsic (coordinate-independent) characterization of linear, integrable, separable holonomic systems;

- of the Lagrangian dynamics of a relativistic massive particle, interacting with the e.m. field; the connection with observable quantities in three-space; the nonrelativistic limit;

- of the notion of macrostate and entropy of a macrostate in (classical) statistical mechanics; derivation of the laws of thermodynamic equilibrium from hamiltonian mechanics.

Applying knowledge and understanding:

- solving standard problems in Lagrangian and Hamiltonian mechanics for systems of constraind point particles, using generic coordinates; manipulating tensor formulae; solving basic problems of relativistic kinematics and of relativistic dynamics of point particles;

- finding equilibrium configuration and assessing their stability; computing linearized equations and diagonalizing them; finding conservation laws for Lagrangian and Hamiltonisn systems; writing the Hamilton-Jacobi equation for a given holonomic system;

- using the appropriate mathematical definitions and properties (from linear and multilinear algebra, differential geometry, variational calculus, symplectic geometry, measure theory) for objects and operations involved in modelling a physical system.

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Modalità di insegnamento

48 ore di lezioni frontali (24 ore per docente), occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer.

Nel caso permangano limitazioni delle lezioni in presenza, le lezioni saranno svolte tramite videoconferenza in modalità sincrona. In ogni caso saranno rese disponibili le videoregistrazioni.

Lectures (48 hours, equally distributed between the two teachers), occasionally supported by computer simulations.

In the case where the attendance to classroom lectures will be restricted, the lectures will be given through real-time online meetings. In any case, video recordings of the lectures will be made available to students for downloading.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in tre fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluziopne di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (meccanica lagrangiana e metodi geometrico-differenziali; meccanica hamiltoniana) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati i due test su computer si può accedere alla prova scritta, che consiste in uno o due problemi di meccanica analitica e che verifica la capacità di individuare la corretta strategia di risoluzione e scegliere in modo appropriato le coordinate in cui rappresentare il sistema. I problemi proposti, pur riguardando di regola sistemi olonomi con uno o due gradi di libertà, non sono "esercizi standard" ma richiedono, almeno per alcune delle domande proposte, capacità di "problem solving". La prova scritta, se superata, è valutata su una scala A-D. Il punteggio A determina un aumento di 2 punti rispetto al voto della prova orale, B un aumento di 1 punto, C lascia invariato il punteggio dell'orale e D determina la perdita di 1 punto. Le prove superate valgono per l'intera sessione d'esame, ma se classificate A o B restano valide per 12 mesi. In caso di ripetizione di una prova scritta già superata, la seconda viene considerata solo se migliora il voto della precedente. Sulla piattaforma moodle sono disponibili i testi di prove scritte date in anni precedenti, con le relative soluzioni.

La prova orale, a cui si accede dopo il superamento della prova scritta, consiste nella risposta a tre domande teoriche: una di meccanica lagrangiana (classica e relativistica), una di meccanica hamiltoniana o geometria differenziale e una di meccanica statistica. Le domande sono estratte in modo casuale da un elenco reso disponibile alla fine del corso attraverso la piattaforma moodle. Il voto dell'orale è dato dalla somma dei voti delle tre risposte, ciascuna valutata da 0 a 10.

AVVERTENZA: FINO ALLA SESSIONE DI SETTEMBRE 2020 INCLUSA, le modalità di esame sono modificate come segue:

Una volta superati entrambi i test su computer, si può accedere alla prova d’esame. Questa, che avviene in videoconferenza, consiste in una prima parte (sostitutiva della prova scritta) in cui al candidato viene assegnato un esercizio appartenente a una delle tipologie indicate nell’elenco che sarà reso disponibile su moodle alla fine delle lezioni. L’esercizio potrà riguardare la meccanica lagrangiana oppure la meccanica hamiltoniana; dovrà essere svolto immediatamente, in collegamento video con la commissione (che potrà interloquire con l’esaminando durante lo svolgimento), in un tempo massimo di 20’. Subito dopo la commissione estrarrà due domande teoriche, dall’elenco messo a disposizione su moodle alla fine delle lezioni: una delle due domande sarà di meccanica relativistica; l’altra sarà di meccanica lagrangiana se l’esercizio svolto era di meccanica hamiltoniana, o viceversa. Per rispondere a ciascuna delle domande teoriche sarà disponibile un tempo massimo di 10’.

Al voto d'esame concorreranno, con uguale peso, la valutazione dell'esercizio svolto e quella di ciascuna delle due domande teoriche.

The assessment involves three subsequent steps.

First, the ability to cope with standard exercises is checked by two multiple-choiche tests (on mathematical methods and on Lagrangian and Hamiltonian mechanics). The tests can be taken, independently from each other, during the course or before the exam sessions. Test scores do not affect the final exam grading. A training version of both tests is freely available with anonymous access.

After passing both preliminary tests, the written examination assesses the ability of finding the correct strategy and coordinate choice to solve problems related to given holonomic systems, typically with one or two degrees of freedom. The problems are not standard exercises but require problem solving abilities, at least for some of the posed questions. The passing grades range from A to D, where A (excellent) adds two points to the score of the oral exam, B adds one point and D (poor) subtracts one point. The written exam is valid for the exam session, but if graded A or B it remains valid for 12 months. Written exams which are repeated after having already passed a previous one are considered only if the grade is increased. On the moodle platform, students can find texts and solutions of most of the past written exams.

After passing the written exam, the final oral examination consists in three questions about theorical topics (one on Lagrangian mechanics, one on Hamiltonian mechanics or differential geometry, one on statistical mechanics), randomly extracted from a set of questions which is made available to students on the moodle platform at the end of the course lectures. The score of the oral exam is the sum of the scores given for the three questions, each ranging from 0 to 10.

NOTICE: UP TO SEPT. 2020 (INCLUDED) the exams will be held as follows: 

After passing both preliminary tests, the examinee can take the oral examination through web meeting. The examinee will be first asked to solve, in at most 20', one exercise in either Lagrangian or Hamiltonian mechanics (a list of the possibile types of exercises will be made available to students through Moodle after the end of the lectures). Immediately after, the examinee will receive two questions about theoretical topics (one on Special Relativity , the other on Lagrangian mechanics if the exercise was on Hamiltonian mechanics, or vice versa), randomly extracted from a set of questions which is made available to students on the moodle platform at the end of the course lectures; 10' will be available for answering to each question.

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Attività di supporto

Materiali e attività interattive sulla piattaforma moodle; video di approfondimento; attività di tutoraggio in presenza e/o online.


Resources and activities on the moodle platform; video presentations; tutoring by a senior student (possibly online).

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Programma

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti e cotangenti, sottovarietà, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel, tensori e forme differenziali su varietà. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Principio d'azione stazionaria. Meccanica lagrangiana della particella relativistica.

Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teorema di Arnold-Liouville. Teorema KAM. Conservazione della forma volume e sue conseguenze.

Microstati, macrostati ed entropia. Ipotesi ergodica. Ensemble microcanonico ed equipartizione dell'energia. Ensemble canonico, funzione di partizione e deduzione delle equazioni di stato. Potenziali termodinamici. Paradosso di Gibbs. Cenno all'ensemble grancanonico. Cenni alle transizioni di fase.

Overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical framework from differential geometry (manifolds, tangent and cotangent bundles, submanifolds, diffeomorphisms, metric structures, Christoffel symbols, tensors and differential forms on manifolds). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Action functional. Lagrangian mechanics for a relativistic particle.

Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations. Hamiltonian systems with symmetries. Completely integrable systems: Arnold-Liouville and KAM theorems. Preservation of volume in the phase space and its consequences.

Microstates, macrostates and entropy. Egodic hypothesis. Microcanonical ensemble; equipartition of energy. Canonical ensemble, partition function and equations of state. Thermodynamic potentials. Gibbs paradox. Introduction to grandcanonical ensemble. Introduction to phase transitions.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle).

Alcuni capitoli del testo "Meccanica statistica" di K. Huang.

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.

Comprehensive lecture notes by the teachers, available on the moodle platform.

Some sections of the textbook "Statistical Mechanics" by K. Huang.

Other useful references:

Sections of the textbook "Metodi matematici della meccanica classica" by V.I.Arnold" (available also in English).

Sections of the textbook "Modelli matematici della meccanica" by S.Benenti

Sections of the textbook "Appunti di meccanica razionale" by G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli

 



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Orario lezioni

Lezioni: dal 01/03/2021 al 09/06/2021

Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione"

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Note

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Ultimo aggiornamento: 01/03/2021 11:07