Corso di laurea in Fisica

Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.

Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica, Meccanica Statistica

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson), inclusa la formulazione lagrangiana della particella relativistica carica. Introdurre la descrizione meccanico-statistica classica dell'equilibrio termodinamico a partire dalla meccanica hamiltoniana.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; confronto con la meccanica nonrelativistica;

- comprensione del concetto di macrostato meccanico-statistico di un sistema e di entropia di un macrostato; deduzione delle proprietà dell'equilibrio termodinamico (classico) a partire dalle proprietà dei sistemi hamiltoniani.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; saper individuare leggi di conservazione e calcolare le parentesi di Poisson fra osservabili;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, teoria della misura, anche in vista di estensioni alle teorie di campo;

48 ore di lezioni frontali (24 ore per docente), occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer.

Nel caso permangano limitazioni delle lezioni in presenza, le lezioni saranno svolte tramite videoconferenza in modalità sincrona. In ogni caso saranno rese disponibili le videoregistrazioni.

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in tre fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluziopne di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (meccanica lagrangiana e metodi geometrico-differenziali; meccanica hamiltoniana) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati i due test su computer si può accedere alla prova scritta, che consiste in uno o due problemi di meccanica analitica e che verifica la capacità di individuare la corretta strategia di risoluzione e scegliere in modo appropriato le coordinate in cui rappresentare il sistema. I problemi proposti, pur riguardando di regola sistemi olonomi con uno o due gradi di libertà, non sono "esercizi standard" ma richiedono, almeno per alcune delle domande proposte, capacità di "problem solving". La prova scritta, se superata, è valutata su una scala A-D. Il punteggio A determina un aumento di 2 punti rispetto al voto della prova orale, B un aumento di 1 punto, C lascia invariato il punteggio dell'orale e D determina la perdita di 1 punto. Le prove superate valgono per l'intera sessione d'esame, ma se classificate A o B restano valide per 12 mesi. In caso di ripetizione di una prova scritta già superata, la seconda viene considerata solo se migliora il voto della precedente. Sulla piattaforma moodle sono disponibili i testi di prove scritte date in anni precedenti, con le relative soluzioni.

La prova orale, a cui si accede dopo il superamento della prova scritta, consiste nella risposta a tre domande teoriche: una di meccanica lagrangiana (classica e relativistica), una di meccanica hamiltoniana o geometria differenziale e una di meccanica statistica. Le domande sono estratte in modo casuale da un elenco reso disponibile alla fine del corso attraverso la piattaforma moodle. Il voto dell'orale è dato dalla somma dei voti delle tre risposte, ciascuna valutata da 0 a 10.

AVVERTENZA: FINO ALLA SESSIONE DI SETTEMBRE 2020 INCLUSA, le modalità di esame sono modificate come segue:

Una volta superati entrambi i test su computer, si può accedere alla prova d’esame. Questa, che avviene in videoconferenza, consiste in una prima parte (sostitutiva della prova scritta) in cui al candidato viene assegnato un esercizio appartenente a una delle tipologie indicate nell’elenco che sarà reso disponibile su moodle alla fine delle lezioni. L’esercizio potrà riguardare la meccanica lagrangiana oppure la meccanica hamiltoniana; dovrà essere svolto immediatamente, in collegamento video con la commissione (che potrà interloquire con l’esaminando durante lo svolgimento), in un tempo massimo di 20’. Subito dopo la commissione estrarrà due domande teoriche, dall’elenco messo a disposizione su moodle alla fine delle lezioni: una delle due domande sarà di meccanica relativistica; l’altra sarà di meccanica lagrangiana se l’esercizio svolto era di meccanica hamiltoniana, o viceversa. Per rispondere a ciascuna delle domande teoriche sarà disponibile un tempo massimo di 10’.

Al voto d'esame concorreranno, con uguale peso, la valutazione dell'esercizio svolto e quella di ciascuna delle due domande teoriche.

Materiali e attività interattive sulla piattaforma moodle; video di approfondimento; attività di tutoraggio in presenza e/o online.

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti e cotangenti, sottovarietà, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel, tensori e forme differenziali su varietà. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Principio d'azione stazionaria. Meccanica lagrangiana della particella relativistica.

Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teorema di Arnold-Liouville. Teorema KAM. Conservazione della forma volume e sue conseguenze.

Microstati, macrostati ed entropia. Ipotesi ergodica. Ensemble microcanonico ed equipartizione dell'energia. Ensemble canonico, funzione di partizione e deduzione delle equazioni di stato. Potenziali termodinamici. Paradosso di Gibbs. Cenno all'ensemble grancanonico. Cenni alle transizioni di fase.

Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle).

Alcuni capitoli del testo "Meccanica statistica" di K. Huang.

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.