Corso di laurea in Fisica

Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.

Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Introdurre in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- comprensione dei postulati fisici della relatività speciale e delle strutture matematiche connesse alla modellizzazione relativistica dello spaziotempo; 

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; comprensione del rapporto fra decrizione quadridimensionale e osservazioni fisiche, e confronto con la meccanica nonrelativistica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali; saper risolvere semplici problemi di cinematica relativistica e di dinamica relativistica del punto;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; sapere individuare leggi di conservazione e impostare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema olonomo;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, in vista di estensioni alle teorie di campo.

48 ore di lezioni frontali (24 ore per docente), occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer, a cui si aggiugono 20 ore di tutoraggio.

MODALITA' VALIDE NEL CORSO DELL'EMERGENZA COVID-19 (fino a quando non saranno nuovamente possibili esami in presenza):

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in due fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluzione di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (rispettivamente di meccanica lagrangiana e meccanica relativistica) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta (sarà disponibile una sessione di recupero in ciascun appello d'esame) e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati entrambi i test su computer, si può accedere alla prova d’esame. Questa, che avviene in videoconferenza, consiste in una prima parte (sostitutiva della prova scritta) in cui al candidato viene assegnato un esercizio appartenente a una delle tipologie indicate nell’elenco che sarà reso disponibile su moodle alla fine delle lezioni. L’esercizio potrà riguardare la meccanica lagrangiana oppure la meccanica hamiltoniana; dovrà essere svolto immediatamente, in collegamento video con la commissione (che potrà interloquire con l’esaminando durante lo svolgimento), in un tempo massimo di 20’. Successivamente la commissione estrarrà due domande teoriche, dall’elenco messo a disposizione su moodle alla fine delle lezioni: una delle due domande sarà di meccanica relativistica; l’altra sarà di meccanica lagrangiana se l’esercizio svolto era di meccanica hamiltoniana, o viceversa. Per rispondere a ciascuna delle domande teoriche sarà disponibile un tempo massimo di 10’.

Al voto d'esame concorreranno, con uguale peso, la valutazione dell'esercizio svolto e quella di ciascuna delle due domande teoriche.

Gli studenti di a.a. precedenti che hanno già superato la prova scritta sosterranno l’esame orale in videoconferenza secondo le modalità e il programma dell’anno in cui hanno frequentato l’insegnamento (tre domande di teoria). Quelli che non hanno ancora superato la prova scritta sosterranno il colloquio con le modalità modificate (esercizio e due domande teoriche), ma in base all'elenco di domande proposte nell’anno in cui hanno frequentato.

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville. Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Sono indicati come argomenti facoltativi per l'esame (trattati nelle dispense del corso) la forma di Poincaré-Cartan, la formulazione variazionale della meccanica hamiltoniana, le trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo e il metodo di Hamilton-Jacobi.

Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle)

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.