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Metodi matematici della meccanica classica

Oggetto:

Mathematical methods of classical mechanics

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Anno accademico 2019/2020

Codice dell'attività didattica
MFN0539
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Terzo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Tutti i corsi obbligatori di analisi, geometria, meccanica, elettromagnetismo dei primi due anni della laurea triennale.
Compulsory first- and second-year courses on calculus, linear algebra, geometry, mechanics and electromagnetism.
Propedeutico a
Meccanica Quantistica, Modelli Matematici della Fisica Classica
Quantum Mechanics, Mathematical Models of Classical Physics
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson). Introdurre in termini matematici rigorosi la cinematica relativistica e dedurre (dalla ricerca di una funzione di Lagrange compatibile con i postulati fisici) la meccanica di una particella relativistica, inclusa l'interazione con il campo elettromagnetico.

Introducing Lagrangian and Hamiltonian mechanics in the modern language of differential geometry, with emphasis on topics of general interest in theoretical physics (geometric structures, variational principles, symmetries and conservation laws, Poisson brackets). Constructing relativistic kinematics from physical assumptions and obtaining the dynamics of a relativistic particle (in interaction with the e.m. field) within the Lagrangian framework.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilità di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione dei concetti di equilibrio, stabilità, linearizzazione, diagonalizzazione per i sistemi olonomi;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle proprietà intrinseche di linearità/nonlinearità/integrabilità/separabilità di un sistema olonomo;

- comprensione dei postulati fisici della relatività speciale e delle strutture matematiche connesse alla modellizzazione relativistica dello spaziotempo; 

- costruzione della dinamica relativistica del punto materiale (in interazione con il campo elettromagnetico) come sistema lagrangiano; comprensione del rapporto fra decrizione quadridimensionale e osservazioni fisiche, e confronto con la meccanica nonrelativistica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate; saper manipolare formule tensoriali; saper risolvere semplici problemi di cinematica relativistica e di dinamica relativistica del punto;

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; sapere individuare leggi di conservazione e impostare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema olonomo;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, in vista di estensioni alle teorie di campo.

Knowledge and understanding...

- of the lagrangian and the hamiltonian formulations of classical mechanic, from their deduction from the newtonian mechanics of systems of point particles to the more general deduction from an action principle;

- of the notions of equilibrium and stability, linearization and diagonalization for holonomic systems;

- of the connection between symmetries and conservation laws, represented by Noether's theorem and by commutation relations in the Poisson algebra. Understanding the respective intrinsic (coordinate-independent) characterization of linear, integrable, separable holonomic systems;

- the physical postulates of special relativity and the mathematical description of the structure of (special-)relativistic spacetime; 

- the Lagrangian description of the worldline of a relativistic massive particle, interacting with the e.m. field; the connection with observable quantities in three-space; the nonrelativistic limit;

Applying knowledge and understanding:

- solving standard problems in Lagrangian and Hamiltonian mechanics for systems of constraind point particles, using generic coordinates; manipulating tensor formulae; solving basic problems of relativistic kinematics and of relativistic dynamics of point particles;

- finding equilibrium configuration and assessing their stability; computing linearized equations and diagonalizing them; finding conservation laws for Lagrangian and Hamiltonisn systems; writing the Hamilton-Jacobi equation for a given holonomic system;

- using the appropriate mathematical definitions and properties (from linear and multilinear algebra, differential geometry, variational calculus, symplectic geometry) for objects and operations involved in modelling a physical system.

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Modalità di insegnamento

48 ore di lezioni frontali (24 ore per docente), occasionalmente con il supporto di simulazioni al computer, a cui si aggiugono 20 ore di tutoraggio.

Lectures (48 hours, equally distributed between the two teachers), occasionally supported by computer simulations; 20 hours of additional tutoring sessions.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

MODALITA' VALIDE NEL CORSO DELL'EMERGENZA COVID-19 (fino a quando non saranno nuovamente possibili esami in presenza):

Il raggiungimento dei risultati attesi è valutato in due fasi.

Una prima valutazione della capacità di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluzione di problemi standard è data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (rispettivamente di meccanica lagrangiana e meccanica relativistica) consta di 10 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta (sarà disponibile una sessione di recupero in ciascun appello d'esame) e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test è liberamente disponibile con accesso anonimo.

Una volta superati entrambi i test su computer, si può accedere alla prova d’esame. Questa, che avviene in videoconferenza, consiste in una prima parte (sostitutiva della prova scritta) in cui al candidato viene assegnato un esercizio appartenente a una delle tipologie indicate nell’elenco che sarà reso disponibile su moodle alla fine delle lezioni. L’esercizio potrà riguardare la meccanica lagrangiana oppure la meccanica hamiltoniana; dovrà essere svolto immediatamente, in collegamento video con la commissione (che potrà interloquire con l’esaminando durante lo svolgimento), in un tempo massimo di 20’. Successivamente la commissione estrarrà due domande teoriche, dall’elenco messo a disposizione su moodle alla fine delle lezioni: una delle due domande sarà di meccanica relativistica; l’altra sarà di meccanica lagrangiana se l’esercizio svolto era di meccanica hamiltoniana, o viceversa. Per rispondere a ciascuna delle domande teoriche sarà disponibile un tempo massimo di 10’.

Al voto d'esame concorreranno, con uguale peso, la valutazione dell'esercizio svolto e quella di ciascuna delle due domande teoriche.

Gli studenti di a.a. precedenti che hanno già superato la prova scritta sosterranno l’esame orale in videoconferenza secondo le modalità e il programma dell’anno in cui hanno frequentato l’insegnamento (tre domande di teoria). Quelli che non hanno ancora superato la prova scritta sosterranno il colloquio con le modalità modificate (esercizio e due domande teoriche), ma in base all'elenco di domande proposte nell’anno in cui hanno frequentato.

THE FOLLOWING SPECIFICATIONS ARE VALID DURING THE COVID-19 EMERGENCY (until the moment when usual examination conditions will be restored):

The assessment involves two subsequent steps.

First, the ability to cope with standard exercises is checked by two multiple-choice tests (for Lagrangian mechanics and Special Relativity). The tests can be taken, independently from each other, during the course or before the exam sessions. Test scores do not affect the final exam grading. A training version of both tests is freely available with anonymous access.

After passing both preliminary tests, the examinee can take the oral examination (through web meeting). The examinee will be first asked to solve, in at most 20', one exercise in either Lagrangian or Hamiltonian mechanics (a list of the possibile types of exercises will be made available to students through Moodle after the end of the lectures). Afterwards, the examinee will receive two questions about theoretical topics (one on Special Relativity , the other on Lagrangian mechanics if the exercise was on Hamiltonian mechanics, or vice versa), randomly extracted from a set of questions which is made available to students on the moodle platform at the end of the course lectures; 10' will be available for answering to each question.

The exercise and the two questions will contribute with equal weight (1/3 each) to the final score.

For students who attended the course in previous academic years, the oral exams will conform to the scheme and program of past years (3 questions on theoretical topics), provided they had already passed the written exam. Those who have not yet passed the written exam shall be examined with the "emergency" scheme (one exercise and two oral questions), but the two questions will be extracted from the list given in the year in which they have attended the course.

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Attività di supporto

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Programma

Richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: varietà, spazi tangenti, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Principio d'azione stazionaria. Trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Equilibrio meccanico, stabilità, teoria delle piccole oscillazioni. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.  Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teoremi di Caratheodory-Jacobi e di Arnold-Liouville. Meccanica relativistica: trasformazioni di Galileo, non-invarianza dell'equazione delle onde elettromagnetiche, deduzione delle trasformazioni di Lorentz. Spazio-tempo di Minkowski. Meccanica lagrangiana della particella relativistica; interazione elettromagnetica. Effetti relativistici cinematici e dinamici; limite non relativistico.

Sono indicati come argomenti facoltativi per l'esame (trattati nelle dispense del corso) la forma di Poincaré-Cartan, la formulazione variazionale della meccanica hamiltoniana, le trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo e il metodo di Hamilton-Jacobi.

Overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical framework from differential geometry (manifolds, tangent bundles, metric structures, Christoffel symbols). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Action functional. Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Poincaré-Cartan form and variational principles in hamiltonian mechanics. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations and generating functions. Hamiltonian systems with symmetries. Completely integrable systems: Caratheodory-Jacobi and Arnold-Liouville theorems. Relativistic mechanics: Galileo transformations, non-invariance of the e.m. wave equation, Lorentz transformations. Minkowski spacetime. Lagrangian mechanics for a relativistic particle, electomagnetic interaction. Relativistic effects; non-relativistic limit.

In addition, Poincaré-Cartan form, variational principles in hamiltonian mechanics, time-dependent canonical transformations and Hamilton-Jacobi theory are discussed in the lecture notes and may be included by the student as optional topics for the exam.

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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Dispense del corso fornite dai docenti (scaricabili dalla piattaforma moodle)

Altri testi consigliati:

Parti del testo "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold,
parti del testo "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti, parti
del testo "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli.

Comprehensive lecture notes by the teachers, available on the moodle platform.

Other useful references:

Sections of the textbook "Metodi matematici della meccanica classica" di V.I.Arnold" (available also in English).

Sections of the textbook "Modelli matematici della meccanica" di S.Benenti

Sections of the textbook "Appunti di meccanica razionale" di G.Benettin, L.Galgani e A.
Giorgilli

 



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Orario lezioni

Lezioni: dal 20/04/2017 al 21/06/2017

Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione"

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Note

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Ultimo aggiornamento: 10/07/2020 09:57