- Oggetto:
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Geometria e algebra lineare II
- Oggetto:
Geometry and Linear Algebra II
- Oggetto:
Anno accademico 2014/2015
- Codice dell'attività didattica
- MFN0571
- Docenti
- Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso)
Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso) - Corso di studi
- 008703 Laurea in Fisica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo periodo didattico
- Tipologia
- C=Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Le nozioni fornite nei corsi di Geometria e Algebra Lineare 1, Analisi Matematica 1, 2 e 3.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di fornire alcuni strumenti matematici che vengono utilizzati in diversi settori della fisica moderna. In particolare, nella parte di carattere algebrico, si intende dare un panorama completo dei gruppi e delle algebre di matrici e delle loro principali proprietà. La parte di carattere geometrico è dedicata alle proprietà delle curve e superfici dello spazio euclideo tridimensionale, con particolare attenzione alla nozione di curvatura. Questi concetti sono propedeutici alle nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, differenziale di applicazioni differenziabili e gruppi e algebre di Lie, che vengono introdotte nella parte finale del corso.
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). L'insegnamento ha lo scopo di approfondire gli argomenti trattati nell'insegnamento di Geometria e Algebra Lineare I, che sono utilizzati negli insegnamenti del percorso di Fisica Teorica. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alle strutture algebriche di base e alla geometria differenziale, in modo da fornire alcuni prerequisiti di carattere matematico necessari al proseguimento degli studi (obiettivo 1). Lo strumento di verifica è costituito da una prova orale preceduta dalla risoluzione di alcuni esercizi.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo degli argomenti indicati nel programma, mediante una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancate da esempi significativi ed esercizi (a volte svolti mediante il programma di calcolo simbolico Mathematica). La verifica degli obiettivi avviene richiedendo preliminarmente allo studente di svolgere alcuni esercizi e successivamente di discutere gli aspetti teorici utilizzati (obiettivo 1).
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Risultati dell'apprendimento attesi
I risultati attesi dell'apprendimento sono:
- riconoscere i gruppi e le algebre di Lie di matrici in campo reale, complesso e sul corpo dei quaternioni;
- saper riconoscere le curve e superfici più comuni in base alle loro equazioni; calcolare le diverse curvature e dedurre le loro principali proprietà geometriche;
- comprendere le motivazioni della nozione astratta di varietà differenziabile.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è costituito da una prova orale che verte preliminarmente su due esercizi, uno riguardante le curve oppure le superfici nello spazio, l'altro avente per oggetto i gruppi e le algebre di matrici. Successivamente, vengono approfonditi gli aspetti teorici degli argomenti oggetto degli esercizi, richiedendo le definizioni, gli esempi più significativi e le dimostrazioni di teoremi trattati durante le lezioni.
Colloquio orale
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Programma
Gruppi e algebre di Lie:
- Definizioni ed esempi (gruppi di matrici, trasformazioni del piano e dello spazio), sottogruppi.
- I gruppi classici di matrici e loro significato geometrico
- Algebre di Lie di matrici ed applicazione esponenziale.
Geometria differenziale:
- Elementi di geometria differenziale delle curve: formule di Frenet.
- Geometria differenziale delle superfici.
- Forma quadratiche fondamentali sulle superfici.
- Curvature Gaussiana, media e normale du una superficie.
- Elementi di topologia; varietà differenziabili, spazi tangenti e differenziali di funzioni differenziabili tra varietà.
Lie Groups and Lie algebras:
- Definitions and examples (matrix groups, transformations of the plane and space), subgroups.
- The classical groups of matrices and their geometric meaning.
- Lie algebras of matrices and exponential map.
Differential geometry:
- Elements of differential geometry of curves: Frenet formulas.
- Differential geometry of surfaces.
- Fundamental quadratic forms on surfaces.
- Gaussian, mean and normal curvature of a surface.
- Basic topology; differentiable manifolds, tangent spaces, differential of functions between manifolds.
Testi consigliati e bibliografia
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Elsa Abbena, Sergio Garbiero, Note di geometria e algebra lineare 2, reperibili su Moodle
Morton L. Curtis, Matrix groups, Springer, New York 1984
Brian C. Hall, Lie groups, Lie algebras and representations, Springer, New York 2003.
Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1976.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, third edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2006.
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