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Oggetto:
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Geometria e algebra lineare II

Oggetto:

Geometry and Linear Algebra II

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MFN0571
Docente
Tommaso Pacini (Titolare del corso)
Corso di studio
008703 Laurea in Fisica
Anno
3° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti

Conoscenza di:
- le nozioni di base di algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici;
- la nozione di differenziabilità per funzioni di più variabili;

Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria e Algebra Lineare 1, Analisi Matematica 1, 2 e 3 sono in possesso di questi prerequisiti.


Knowledge of:
- basic notions of linear algebra: vector spaces, linear maps, matrices;
- the notion of differentiable function of several variables;

Students who have taken the classes of "Geometria e Algebra Lineare 1", "Analisi Matematica 1", "2" and "3" already have these prerequisites .

Propedeutico a

Corsi di contenuto matematico nella Laurea Magistrale in Fisica.

Classes with mathematical content taught in the Laurea Magistrale in Physics.
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Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento ha lo scopo di fornire alcuni strumenti matematici che vengono utilizzati in diversi settori della fisica moderna. In particolare, nella parte di carattere algebrico, si intende dare un panorama completo dei gruppi e delle algebre di matrici e delle loro principali proprietà. La parte di carattere geometrico è dedicata alle proprietà delle curve e superfici dello spazio euclideo tridimensionale, con particolare attenzione alla nozione di curvatura. Questi concetti sono propedeutici alle nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, differenziale di applicazioni differenziabili e gruppi e algebre di Lie, che vengono introdotte nella parte finale del corso.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). L'insegnamento ha lo scopo di approfondire gli argomenti trattati nell'insegnamento di Geometria e Algebra Lineare I, che sono utilizzati negli insegnamenti del percorso di Fisica Teorica. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alle strutture algebriche di base e alla geometria differenziale, in modo da fornire alcuni prerequisiti di carattere matematico necessari al proseguimento degli studi (obiettivo 1). Lo strumento di verifica è costituito da una prova orale preceduta dalla risoluzione di alcuni esercizi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo degli argomenti indicati nel programma, mediante una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancate da esempi significativi ed esercizi (a volte svolti mediante programmi di calcolo simbolico). La verifica degli obiettivi avviene richiedendo preliminarmente allo studente di svolgere alcuni esercizi e successivamente di discutere gli aspetti teorici utilizzati (obiettivo 1).

The aim of the course is to provide mathematical techniques that are used in various sectors of modern physics. On the algebraic side, there will be an exhaustive description of groups and algebras of matrices, and their main properties. The geometric part of the course is devoted to the study of curves and surfaces in 3-dimensional space, with particular attention to the notion of curvature. This leads to the final part of the course, which covers the definition of a differentiable manifold, its tangent space, the differential of a smooth mapping, and Lie groups and algebras.

Knowledge and understanding. The course will pursue and expand material treated in Geometria and Algebra Lineare I, which is used in the Theoretical Physics pathway. In particular, it introduces concepts that lay the foundations of algebraic structures and differential geometry, themselves mathematical prerequisites for further study (1st objective). Verification is achieved by means of an oral test preceded by the setting of appropriate exercises.

Applying knowledge and understanding. The theoretical part of the teaching consist in developing the relevant material by means of a succession of theorems and associated proofs, hand in hand with important examples and exercises (sometimes solved using a Computer Algebra System). Verification of the objectives takes place by first asking the student to work on a few exercises, and subsequently to discuss some of the theoretical aspects (1st objective).

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e capacità di comprensione

Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria di curve e superfici. Conoscenza degli aspetti di base della teoria delle varietà differenziali. Conoscenza dei gruppi di Lie di matrici e delle loro algebre di Lie.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Al termine del corso gli studenti dovranno essere in grado di

  • calcolare gli invarianti di curve e superfici (curvatura, torsione, curvatura gaussiana, curvatura media) e dedurne le principali proprietà geometriche.
  • determinare l'algebra di Lie di un gruppo di Lie di matrici
  • calcolare l'esponenziale di una matrice

Inoltre, si attende la capacità di enunciare, e in alcuni casi  dimostrare, i teoremi di base della Geometria Differenziale e della teoria dei gruppi di Lie.

Knowledge and understanding

Knowledge of the differential geometry of curves and surfaces. Knowledge of the basic aspects of the theory of differentiable manifolds. Knowledge of matrix Lie groups and their Lie algebras.

Applying knowledge and understanding

At the end of the course students must be able to

  • calculate the invariants of curves and surfaces (curvature, torsion, gaussian curvature, mean curvaturne) and deduce their main geometrical properties;
  • determine the Lie algebra of a matrix Lie group
  • calculate the exponential of a matrix

They should also be able to state, and in some cases prove, the basic theorems of Differential Geometry and Lie Group theory.

Oggetto:

Programma

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate.

2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio:  Superfici regolari. Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss, e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium di Gauss.

3. Varietà differenziabili: elementi di topologia, il concetto di varietà differenziabile astratta, spazio tangente, funzioni differenziabili fra varietà, il differenziale di una funzione come mappa lineare fra spazi tangenti. Fibrato tangente e cotangente, campi vettoriali, campi tensoriali covarianti e controvarianti.

GRUPPI E ALGEBRE DI LIE

1. Gruppi di matrici: definizione di gruppo astratto, esempi. Gruppi di matrici classici: il gruppo lineare GL(n), il gruppo speciale lineare SL(n), il gruppo ortogonale O(n), il gruppo unitario U(n), il gruppo simplettico Sp(n), il gruppo di Heisenberg H3.

2. Algebre di Lie: algebre di Lie astratte, algebre di Lie di matrici. La mappa esponenziale. Relazioni fra algebre di Lie di matrici e gruppi di matrici.

3. Gruppi di Lie: gruppi di Lie di matrici, rappresentazione aggiunta, la formula del prodotto di Lie, campi di vettori invarianti e spazio tangente, la formula di Baker-Campbell-Hausdorff.

 

DIFFERENTIAL GEOMETRY

1. Differential geometry of space curves:parametrized curves, arclenght. Frenet frame: tangent, normal, and binormal unit vectors. Curvature and torsion, Frenet formulas. Uniqueness of a curve with assigned curvature and torsion (up to rigid motions).

2. Differential geometry of surfaces in 3-space: Regular surfaces. Tangent plane and normal vector, orientabiliy. The first fundamental quadratic form. Isometries and local isometries. Gauss map, the differential of the Gauss map, the second fundamental quadratic form. Gaussian curvature, mean curvature, principal curvatures; local behaviour of the surfaces with resoect to the tangent plane. Gauss' Theorema Egregium.

3. Differentiable manifolds: basic notions of topology, definition of abstract diffferentiable manifold, tangent space at a point, differentiable functions between manifolds, differential of a function as a linear map between tangent spaces. Tangent bundle and cotangent bundle, vector fields, covariant and contravariant tensor fileds.

LIE GROUPS AND LIE ALGEBRAS

1. Matrix groups: definition of abstract group, examples. Classical matrix groups: the linear group GL(n), the special linear group SL(n), the orthogonal group O(n), the unitary group U(n), the symplectic group Sp(n), the Heisenberg group H3.

2. Lie algebras: abstract Lie algebras, matrix Lie algebras. The exponential map. Relations between matrix Lie algebras and matrix groups.

3. Lie groups: matrix Lie groups, the adjoint representation, Lie product formula, invariant vector fields and tangent spaces, Baker-Campbell-Hausdorff formula.

 

 

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali.

Le lezioni verrano tenute in presenza, salvo aggiornamenti sui provvedimenti adottati da UniTo.

È indispensabile registrarsi alla pagina Moodle:

https://elearning.unito.it/scienzedellanatura/course/view.php?id=2650

Lectures will take place in the classroom (unless the situation changes, and UniTo is forced to take alternative measures).


It is necessary to enroll also on the Moodle webpage:

https://elearning.unito.it/scienzedellanatura/course/view.php?id=2650

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Gli esami si svolgeranno in forma orale e/o scritta.

Oltre alle domande sugli aspetti di teoria sviluppati nel corso, potrebbe chiesto lo svolgimento di un breve esercizio.

 

Exams will be written and/or oral.

They will be based upon the theory discussed in the course, and possibly include a brief exercise.

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Attività di supporto

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Articolo
Titolo:  
An elementary introduction to groups and representations
Titolo rivista:  
available online
Anno pubblicazione:  
2000
Autore:  
Brian Hall
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

Per geometria differenziale:

Curve e superfici

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

 

Per gruppi e algebre di Lie

An Elementary Introduction to Groups and Representations
Autore: Brian C. Hall
arXiv:math-ph/0005032 (<-- link per scaricare il testo)

 

For curves and surfaces:

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

For Lie Groups and algebras:

An Elementary Introduction to Groups and Representations
Autore: Brian C. Hall
arXiv:math-ph/0005032 (<-- link to download)

 

 



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Note

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 27/06/2022 12:23