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Oggetto:
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Geometria e algebra lineare II

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Geometry and Linear Algebra II

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Anno accademico 2016/2017

Codice dell'attività didattica
MFN0571
Docenti
Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso)
Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso)
Corso di studi
008703 Laurea in Fisica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Le nozioni fornite nei corsi di Geometria e Algebra Lineare 1, Analisi Matematica 1, 2 e 3.

The notions given in the courses Geometry and Linear Algebra 1, Calculus 1, 2 and 3.

Propedeutico a
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento ha lo scopo di fornire alcuni strumenti matematici che vengono utilizzati in diversi settori della fisica moderna. In particolare, nella parte di carattere algebrico, si intende dare un panorama completo dei gruppi e delle algebre di matrici e delle loro principali proprietà. La parte di carattere geometrico è dedicata alle proprietà delle curve e superfici dello spazio euclideo tridimensionale, con particolare attenzione alla nozione di curvatura. Questi concetti sono propedeutici alle nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, differenziale di applicazioni differenziabili e gruppi e algebre di Lie, che vengono introdotte nella parte finale del corso.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). L'insegnamento ha lo scopo di approfondire gli argomenti trattati nell'insegnamento di Geometria e Algebra Lineare I, che sono utilizzati negli insegnamenti del percorso di Fisica Teorica. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alle strutture algebriche di base e alla geometria differenziale, in modo da fornire alcuni prerequisiti di carattere matematico necessari al proseguimento degli studi (obiettivo 1). Lo strumento di verifica è costituito da una prova orale preceduta dalla risoluzione di alcuni esercizi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo degli argomenti indicati nel programma, mediante una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancate da esempi significativi ed esercizi (a volte svolti mediante il programma di calcolo simbolico Mathematica). La verifica degli obiettivi avviene richiedendo preliminarmente allo studente di svolgere alcuni esercizi e successivamente di discutere gli aspetti teorici utilizzati (obiettivo 1).

The aim of the course is to provide mathematical techniques that are used in various sectors of modern physics. On the algebraic side, there will be an exhaustive description of groups and algebras of matrices, and their main properties. The geometric part of the course is devoted to the study of curves and surfaces in 3-dimensional space, with particular attention to the notion of curvature. This leads to the final part of the course, which covers the definition of a differentiable manifold, its tangent space, the differential of a smooth mapping, and Lie groups and algebras.

Knowledge and understanding. The course will pursue and expand material treated in Geometria and Algebra Lineare I, which is used in the Theoretical Physics pathway. In particular, it introduces concepts that lay the foundations of algebraic structures and differential geometry, themselves mathematical prerequisites for further study (1st objective). Verification is achieved by means of an oral test preceded by the setting of appropriate exercises.

Applying knowledge and understanding. The theoretical part of the teaching consist in developing the relevant material by means of a succession of theorems and associated proofs, hand in hand with important examples and exercises (some solved using the software Mathematica). Verification of the objectives takes place by first asking the student to work on a few exercises, and subsequently to discuss some of the theoretical aspects (1st objective).

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Risultati dell'apprendimento attesi

I risultati attesi dell'apprendimento sono:

  • riconoscere i gruppi e le algebre di Lie di matrici in campo reale, complesso e sul corpo dei quaternioni;
  • saper riconoscere le curve e superfici più comuni in base alle loro equazioni; calcolare le diverse curvature e dedurre le loro principali proprietà geometriche;
  • comprendere le motivazioni della nozione astratta di varietà differenziabile.

The expected results of the teaching are:

  • to recognize Lie groups and Lie algebras with real, complex and quaternionic coefficients;
  • the ability to recognize more common curves and surfaces in terms of their equations, to calcolate their curvature and to deduce their main geometrical properties;
  • to understand the motivation underlying the more abstract definition of a differentiable manifold.

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali.

Traditional lectures.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Colloquio orale

L'esame è costituito da una prova orale che verte preliminarmente su due esercizi, uno riguardante le curve oppure le superfici nello spazio, l'altro avente per oggetto i gruppi e le algebre di matrici. Successivamente, vengono approfonditi gli aspetti teorici degli argomenti oggetto degli esercizi, richiedendo le definizioni, gli esempi più significativi e le dimostrazioni di teoremi trattati durante le lezioni. 

 

Oral exam

The examination consists of an oral test which is initially based on two exercises, one concerning curves and surfaces and the other related to matrix groups and algebras. This is followed by a discussion of the more theoretical aspects of the course, to test the knowledge of definitions, key examples and/or proofs of theorems covered in lectures.

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Attività di supporto

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Programma

 Gruppi e algebre di Lie:  

  • Definizioni ed esempi (gruppi di matrici, trasformazioni del piano e dello spazio), sottogruppi.
  • I gruppi classici di matrici e loro significato geometrico
  • Algebre di Lie di matrici ed applicazione esponenziale.

Geometria differenziale:

  • Elementi di geometria differenziale delle curve: formule di Frenet.
  • Geometria differenziale delle superfici.
  • Forma quadratiche fondamentali sulle superfici.
  • Curvature Gaussiana, media e normale du una superficie.
  • Elementi di topologia; varietà differenziabili, spazi tangenti e differenziali di funzioni differenziabili tra varietà.

Lie Groups and Lie algebras:

  • Definitions and examples (matrix groups, transformations of the plane and space), subgroups.
  • Classical groups of matrices and their geometric meaning.
  • Lie algebras of matrices and the exponential map.

Differential geometry:

  • Elements of differential geometry of curves: the Frenet formulae.
  • Differential geometry of surfaces.
  • Fundamental quadratic forms on surfaces.
  • Gaussian, mean and normal curvature of a surface.
  • Basic topology; differentiable manifolds, tangent spaces, differentials of maps between manifolds.

Testi consigliati e bibliografia

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Elsa Abbena, Sergio Garbiero, Note di geometria e algebra lineare 2, reperibili su Moodle

Morton L. Curtis, Matrix groups, Springer, New York 1984

Brian C. Hall, Lie groups, Lie algebras and representations, Springer, New York 2003.

Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1976.

Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, third edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2006.

 

Elsa Abbena, Sergio Garbiero, Note di geometria e algebra lineare 2, available on Moodle (written in Italian)

Morton L. Curtis, Matrix groups, Springer, New York 1984

Brian C. Hall, Lie groups, Lie algebras and representations, Springer, New York 2003.

Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1976.

Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, third edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 2006.





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Orario lezioni

Lezioni: dal 26/09/2016 al 25/11/2016

Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione"

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Note

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Ultimo aggiornamento: 13/04/2017 08:43