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Geometria differenziale

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Differential Geomatry

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Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN0500
Docente
Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
Corso di studi
008510-102 Laurea Magistrale in Fisica ind. Astrofisica e Fisica Teorica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Nozioni di base sulle varietà  differenziabili.
Basic notions on differentiable manifolds.
Propedeutico a
Mutuato da
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulla geometria Riemanniana e gruppi di Lie, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi ed  alla relazione fra teoria locale e teoria globale. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.

The course aims to provide  to the  students  the basic concepts of Riemannian geometry and Lie groups, paying particular attention to the examples and the relation between the local and global theory. These  concepts are preparatory to different topics, such as: the study of symplectic and complex manifolds,  mathematical physics and analysis on  differential manifolds.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.

Learn   the fundamental  properties of  Riemannian manifolds and Lie gropus; able to solve  exercises   on significant examples.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.

The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.

 



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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.

The Oral exam consists in solving exercises, in questions about theory and proofs presented in the course.

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Attività di supporto

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Programma

Metrica riemanniana e distanza Riemanniana. Esempi di varietà riemanniane. Immersioni e submersioni riemanniane. Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. Connessione lineare. Derivata covariante. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo.  Curve geodetiche. Curvatura riemanniana e sue proprietà. Curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, Campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner.  Teorema di Hopf-Rinow e Teorema di  Hadamard. Varietà con curvatura sezionale costante. Teoria di base dei gruppi di Lie. 

Riemannian metric and Riemannian distance. Examples of Riemannian manifolds.  Group of isometries. Riemannian immersions and submersions. Structure of metric space associated to a Riemannian manifold.  Isometries. Linear Connection. Covariant Derivative. Parallelism. The  Levi-Civita connection. Parallel trasnsport. Geodesics. Riemannian curvature and its properties.  Sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature,  Riemannian Laplacian,  Killing fields, harmonic forms, Hodge theorem, Bochner techniques.  Hopf-Rinow theorem and Hadamard theorem. Manifolds with constant sectional curvature. Lie groups.

Testi consigliati e bibliografia

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1. M.  P. do Carmo, Riemannian Geometry,   Francis Flaherty.

2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011

3. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

5. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002.

6. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.

1. M.  P. do Carmo, Riemannian Geometry,   Francis Flaherty.

2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011

3. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

5. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002.

6. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.

 



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Orario lezioni

Lezioni: dal 25/02/2019 al 04/06/2019

Nota: Vedere sul sito di matematica. La prima lezione per concordare l'orario sarà il primo giorno di lezione presso il Dipartimento di Matematica

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Note

Nessuna propedeuticità obbligatoria. Frequenza non obbligatoria, ma fortemente consigliata.

 

Gli studenti sono pregati di registrarsi alla pagina moodle (vedi link sotto)

No prerequisites needed. Attendance at the course is not mandatory, but strongly reccomended.

 

The students are kindly requested to register on the Moodle webpage (see link below).

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Ultimo aggiornamento: 23/01/2019 11:01
Location: https://fisica.campusnet.unito.it/robots.html
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