- Oggetto:
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Geometria differenziale
- Oggetto:
Differential Geometry
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Anno accademico 2019/2020
- Codice dell'attività didattica
- MFN0500
- Docente
- Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- 008510-102 Laurea Magistrale in Fisica ind. Astrofisica e Fisica Teorica
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo periodo didattico
- Tipologia
- C=Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni di base sulle varietà differenziabili.Basic notions on differentiable manifolds.
- Propedeutico a
-
- Mutuato da
- Geometria Differenziale (MFN0500 (coorte 2019) - MAT0194 (coorte 2020))Laurea magistrale in Matematica
- Geometria Differenziale (MFN0500 (coorte 2019) - MAT0194 (coorte 2020))
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulla geometria Riemanniana e gruppi di Lie, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi ed alla relazione fra teoria locale e teoria globale. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.
The course aims to provide to the students the basic concepts of Riemannian geometry and Lie groups, paying particular attention to the examples and the relation between the local and global theory. These concepts are preparatory to different topics, such as: the study of symplectic and complex manifolds, mathematical physics and analysis on differential manifolds.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.
Learn the fundamental properties of Riemannian manifolds and Lie gropus; able to solve exercises on significant examples.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.
The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.
The Oral exam consists in solving exercises, in questions about theory and proofs presented in the course.
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Attività di supporto
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Programma
Metrica riemanniana e distanza Riemanniana. Esempi di varietà riemanniane. Immersioni e submersioni riemanniane. Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. Connessione lineare. Derivata covariante. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo. Curve geodetiche. Curvatura riemanniana e sue proprietà. Curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, Campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner. Teorema di Hopf-Rinow e Teorema di Hadamard. Varietà con curvatura sezionale costante. Teoria di base dei gruppi di Lie.
Riemannian metric and Riemannian distance. Examples of Riemannian manifolds. Group of isometries. Riemannian immersions and submersions. Structure of metric space associated to a Riemannian manifold. Isometries. Linear Connection. Covariant Derivative. Parallelism. The Levi-Civita connection. Parallel trasnsport. Geodesics. Riemannian curvature and its properties. Sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature, Riemannian Laplacian, Killing fields, harmonic forms, Hodge theorem, Bochner techniques. Hopf-Rinow theorem and Hadamard theorem. Manifolds with constant sectional curvature. Lie groups.
Testi consigliati e bibliografia
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1. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Francis Flaherty.
2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
3. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
5. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002.
6. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.
1. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Francis Flaherty.
2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
3. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
5. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002.
6. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.
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Orario lezioni
Lezioni: dal 25/02/2019 al 04/06/2019
Nota: Vedere sul sito di matematica. La prima lezione per concordare l'orario sarà il primo giorno di lezione presso il Dipartimento di Matematica
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Note
Nessuna propedeuticità obbligatoria. Frequenza non obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Gli studenti sono pregati di registrarsi alla pagina moodle (vedi link sotto)
No prerequisites needed. Attendance at the course is not mandatory, but strongly reccomended.
The students are kindly requested to register on the Moodle webpage (see link below).
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